Potencias

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado 

por varios factores iguales.

6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 6⁵

Base de una potencia

La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 6.

Exponente de una potencia

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 5.

 Potencias de números naturales 

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴

Base

La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.

Exponente

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.

Propiedades de la potencias de números naturales

1. Un número elevado a 0 es igual a 1.

a⁰ = 1

5⁰ = 1

2. Un número elevado a 1 es igual a sí mismo.

a¹ = a

5¹ = 5

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

a^m · a ⁿ = a^m+n

2⁵ · 2² = 2⁵⁺² = 2⁷

4. División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

2⁵ : 2² = 2^{5 - 2} = 2³

5. Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(a^m)ⁿ = a^{m · n}  

(2⁵)³ = 2¹⁵ 

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

2³ · 4³ = 8³

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ

6³ : 3³ = 2³

Potencias de números racionales

Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente.

Descomposición polinómica de un número

Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10.

El numero 3 658 podemos descomponerlo del siguiente modo:

3 658 = 3 ·10³ + 6 ·10² + 5 ·10¹ + 8

Ejercicios de operaciones con números racionales.

Calcula las siguientes operaciones con números racionales:

1

2

3

4

Efectúa las divisiones de números racionales:

1.-

2.-

3.-

Multiplicación de números racionales.

Propiedades de la multiplicación de números racionales

1. Interna:

a · b

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa:

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

5. Elemento inverso:

6. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

Propiedades de la suma de números racionales.

1. Interna:

a + b

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa:
a + b = b + a

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

5. Elemento opuesto:

a + (−a) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Operaciones con números racionales

Suma y resta de números racionales con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Propiedades

1.Interna: El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a · b

2.Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales
cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(e · ) · = e · ( · )

3.Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a ·1 = a

· 1 =1 

5. Elemento inverso: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6.Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

· (e + ) = · e + ·

7.Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

· e + · = · (e + )

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.